Nuancen des Handels: Markov-Prozess der Preisbildung auf dem Forex-Markt

Moderne Modelle der Finanzmärkte und der Preisbildungsprozesse darauf stellen in der Regel die Preisbewegung während eines elementaren Zeitraums als Ergebnis von zwei Faktoren dar: bestimmtem Momentanwachstum und zufälligem Wachstum. Der erste Faktor beinhaltet die Entschädigung für den erwarteten Risiko, sowie die Auswirkungen solcher Faktoren wie Nachahmung und Gruppenverhalten in der Trader-Umgebung. Der zweite Faktor beinhaltet einen Rauschkomponente der Preisbewegung mit Amplitude, die als Volatilität bezeichnet wird. Sie kann auch ein systematischer Parameter sein, der durch Nachahmung und andere Faktoren kontrolliert wird. Wenn der erste Faktor der Preisbildung fehlt und Volatilität konstant ist, dann erzeugt der zweite Term selbstständig Trajektorien zufälliger Wanderungen.

Elementarer Markov-Prozess

Beginnen wir mit dem elementaren Markov-Prozess der Preisbildung. Bevor wir dies tun, formalisieren wir die wichtigsten Begriffe.

• Endlicher stochastischer Prozess wird ein Prozess mit unabhängigen Werten genannt, wenn

(1) Für jede Aussage p, deren Wahrheit nur von den Ergebnissen von Experimenten bis n abhängt,
R {f = s_j|p} = P{f= s_j}.

Für solche Prozesse beeinflusst das Wissen über bereits beobachtete Experimente nicht unseren Vorhersage über das nächste Experiment. Für Markov-Prozesse wird dieses Anforderung gelockert, wobei es erlaubt wird, dass der Wert des unmittelbar vorhergehenden Ergebnisses diesen Vorhersage beeinflusst.

– Endlicher Markov-Prozess wird ein endlicher stochastischer Prozess genannt, so dass

(2) Für jede Aussage p, deren Wahrheit nur von den Ergebnissen von Experimenten bis n abhängt,
R {f = s_j|(f_-1=s_i) _^ p} = P{f= s_j| f_-1= s_i }.

(vorausgesetzt, dass f_-1= s_i und p kompatibel sind).  

Bedingung (2) wird als Markov-Eigenschaft bezeichnet. Manchmal wird mit „Markov-Prozess“ ein stochastischer Prozess mit kontinuierlicher Zeit bezeichnet, der die Markov-Eigenschaft erfüllt, und das Objekt der Definition (2) wird als Markov-Kette mit endlicher Anzahl von Zuständen bezeichnet.

– Endliche Markov-Kette wird ein endlicher Markov-Prozess genannt, bei dem Übergangswahrscheinlichkeiten p_ij(n) nicht von n abhängen.

Hier ist es angebracht, zu erwähnen, dass Übergangswahrscheinlichkeiten am n-ten Schritt, die normalerweise als p_ij(n) bezeichnet werden, folgendes sind:

p_ij(n) = P[f= s_j| f_-1= s_i].

Die Markov-Kette kann sich als Prozess vorgestellt werden, der von einem Zustand in einen anderen wechselt. Er beginnt mit der Wahrscheinlichkeit p_ij(0) in s_i. Wenn er sich zu einem bestimmten Zeitpunkt im Zustand s_i befindet, dann geht er mit der Wahrscheinlichkeit p_ij im nächsten „Schritt“ in s_i  . Die Anfangswahrscheinlichkeiten können als Wahrscheinlichkeiten verschiedener möglicher „Starts“ verstanden werden.

Der Vektor der Anfangswahrscheinlichkeiten zusammen mit der Übergangsmatrix bestimmen vollständig die Markov-Kette als stochastischen Prozess, da sie ausreichen, um die gesamte Maß auf dem Baum (Verzweigung der Ergebnisse) zu konstruieren. Übergangsmatrix der Markov-Kette wird die Matrix R mit Elementen p_ij genannt. Der Vektor der Anfangswahrscheinlichkeiten (oder das anfängliche Verteilung) wird als Vektor π₀ = {p_j(0)} = { P[ f₀= s_j]}. bezeichnet.

Daher, wenn ein bestimmter Wahrscheinlichkeitsvektor π₀ und eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsmatrix R gegeben sind, gibt es genau eine Markov-Kette (bis auf Zustandstransformation), für die π₀ – anfängliches Verteilung, und R – Übergangsmatrix ist.

Beispiele für die Arbeit des Markov-Prozesses

Um klarer zu verstehen, was gemeint ist, betrachten wir zwei illustrative Beispiele.

1. Marktanalyse.

Angenommen, der Markt zwei Tage lang nicht wächst. Wenn der Markt bullisch ist, dann hat der nächste Tag mit gleicher Wahrscheinlichkeit entweder Flachmarkt oder einen Rückgang der Preise. Wenn Flachmarkt (oder ein Rückgang der Preise) beobachtet wird, dann hat der nächste Tag mit gleicher Wahrscheinlichkeit entweder den gleichen Zustand oder eine Veränderung. Wenn es sich verändert, dann ist in der Hälfte der Fälle der nächste Tag ein Anstieg der Preise.

Unter diesen Bedingungen ist es praktisch, den Markt als Markov-Kette mit drei Zuständen darzustellen: S = {Flachmarkt (F), Bullenmarkt (B), Bärenmarkt (M)} und Übergangsmatrix

2. Endloses Preiswandern eines Vermögensw