عادةً ما تمثِّل النماذج الحديثة للأسواق المالية وعمليات تشكيل الأسعار ديناميكية الأسعار خلال فترة زمنية أولية كنتيجة لعاملَين: الزيادة اللحظية المحددة والزيادة العشوائية. يشمل العامل الأول تعويضًا عن المخاطر المتوقعة، فضلًا عن تأثيرات المحاكاة والسلوك الجماعي (القطيعي) بين المتداولين. أما العامل الثاني فيضم المكوِّن الضوضائي لحركة السعر، وتُسمى سعة هذا المكوِّن التقلب. وقد يكون التقلب أيضًا معلَّمة منتظمة تُدار عبر المحاكاة وعوامل أخرى. وإذا غاب العامل الأول تمامًا، وبقي التقلب ثابتًا، فإن العامل الثاني وحده يولِّد مسارات «المشي العشوائي».
إن إدخال اعتماد غير خطي منتشر على نطاق واسع بين التقلب والزيادة اللحظية المحددة، مع الاعتماد على القيم السابقة للتقلب والعوائد، يُنتج مجموعة هائلة من مسارات تطور الأسعار الممكنة. ومن أبرز الآليات ذات الأهمية هنا تلك التي تؤدي إلى وجود تغذية راجعة إيجابية غير خطية بين السعر وذاته. ومن المعروف أن حلقة التغذية الراجعة الإيجابية تلعب دورًا كبيرًا في تشخيص الانحرافات السعرية في السلاسل الزمنية لسوق العملات.
عملية ماركوف البسيطة
ونبدأ التحليل بعملية ماركوف البسيطة في تشكيل الأسعار. لكن قبل ذلك نُفصِّل المفاهيم الأساسية:
- العملية العشوائية المنتهية هي عملية ذات قيم مستقلة إذا كان:
(1) لأي عبارة ر، تكون صحتها معتمدة فقط على نتائج التجارب حتى اللحظة ن
ر {ف = سي|ر} = ر{ف= سي}.
وبالنسبة لهذه العمليات، لا يؤثر معرفة نتائج التجارب السابقة في توقعنا للتجربة التالية. أما في عمليات ماركوف، فيتم تخفيف هذا الشرط بحيث يُسمح بأن يؤثر الناتج الفوري السابق في هذا التوقع. - العملية العشوائية المنتهية الماركوفية هي عملية عشوائية منتهية تحقِّق الشرط التالي:
(2) لأي عبارة ر، تكون صحتها معتمدة فقط على نتائج التجارب حتى اللحظة ن
ر {ف = سي|(ف-1=سك) ^ ر} = ر{ف= سي| ف-1= سك }.
(مع افتراض توافق شرطيْ ف-1= سك ور). ويُسمى الشرط (2) خاصية ماركوف. وأحيانًا يُشار إلى «عملية ماركوف» بالعمليات العشوائية ذات الزمن المستمر التي تحقق هذه الخاصية، بينما يُسمى الكائن المعرَّف في (2) سلسلة ماركوف ذات عدد محدود من الحالات. - سلسلة ماركوف المنتهية هي عملية ماركوفية منتهية، تكون فيها احتمالات الانتقال صكي(ن) مستقلة عن ن.
وهنا يجدر التذكير بأن احتمالات الانتقال عند الخطوة ن، والتي يرمز لها عادةً بـ صكي(ن)، تُعطى بالعلاقة:
صكي(ن) = ر[ف= سي| ف-1= سك].
ويمكن تصور سلسلة ماركوف كعملية تنتقل من حالة إلى أخرى: فهي تبدأ باحتمال صكي(0) في الحالة سك. فإذا وجدت في لحظة ما في الحالة سك، فإنها تنتقل في «الخطوة» التالية إلى الحالة سي باحتمال صكي. أما الاحتمالات الابتدائية فهي احتمالات مختلف السيناريوهات الممكنة للبدء.
ويُحدَّد سلسلة ماركوف كعملية عشوائية بشكل كامل بواسطة متجه الاحتمالات الابتدائية ومصفوفة الانتقال، لأن هذين العنصرين كافيان لبناء القياس الكامل على شجرة النتائج (الفروع). وتُسمى مصفوفة انتقال سلسلة ماركوف المصفوفة ر ذات العناصر صكي. أما متجه الاحتمالات الابتدائية (أو التوزيع الابتدائي) فهو المتجه π0 = {صي(0)} = {ر[ف0 = سي]}.
وبالتالي، إذا أعطي متجه احتمالي π0 ومصفوفة احتمالية ر، فستوجد سلسلة ماركوف وحيدة (حتى تحويل الحالات)، تكون π0 توزيعها الابتدائي ور مصفوفة انتقالها.
أمثلة تطبيقية لعملية ماركوف
ولتوضيح المقصود، نعرض مثالين توضيحيين:
١. تشخيص حالة السوق. لنفترض أن السوق لا يكون صاعدًا يومين متتاليين. فإذا كان السوق صاعدًا (ثورياً)، فإن اليوم التالي سيكون إما جانبياً أو هابطاً باحتمال متساوٍ. أما إذا كان السوق جانبياً (أو هابطاً)، فإنه يبقى على حاله أو يتغير في اليوم التالي باحتمال متساوٍ. وإذا تغيَّر، فإن احتمال أن يكون اليوم التالي صاعداً هو ٥٠٪.
وبهذه الشروط، يمكن تمثيل السوق كسلسلة ماركوف ذات ثلاث حالات: س = {جانبي (ج)، صاعد (ص)، هابط (ه)} ومصفوفة الانتقال التالية:
٢. المشي العشوائي المنتهي لسعر الأصل. يبدأ سعر العملة في التحرك عشوائيًا داخل نطاق سعري محصور بين مستوى الدعم (س) ومستوى المقاومة (م). ويقع المستوى السعري الابتدائي في منتصف المسافة بين س وم. ويسعى السعر نحو الارتفاع، أي نحو الوصول إلى مستوى المقاومة. ونُرمِّز المسافة بالنقاط بين س وم بأعداد صحيحة من ٠ إلى ن؛ ويُمثل العدد ي (بين ٠ ون) المستوى السعري الابتدائي، أي الحالة الابتدائية.
ويقوم السوق في كل مرة بـ«خطوة» صاعدة (نحو الحالة ن) باحتمال ع، أو خطوة هابطة (نحو الحالة ٠) باحتمال ق = ١ – ع.
والحالات ٠ ون هي حالات «مُمتصَّة». ونفترض أن ع ≠ ٠ وع ≠ ١. وفي هذه الحالة تكون مصفوفة الانتقال كما يلي:
والآن ننتقل إلى مثال تطبيقي على سوق العملات.
مثال على سلاسل ماركوف الناشئة من بيانات مؤشر «رواتب القطاع غير الزراعي» الأمريكي
وبما أن الاحتمالات الابتدائية يمكن اعتبارها احتمالات لسيناريوهات «البداية» المختلفة، فإن عملية تشكيل الأسعار الماركوفية البسيطة (أو السلسلة الماركوفية البسيطة) يمكن تفسيرها كاستجابة «لحظية» للسوق لتأثير خارجي (مثل صدور خبر مهم)، مع تحديد اتجاه حركة سعر الأصل استنادًا إلى الفرق بين الرقم المنشور والرقم المتوقع.
على سبيل المثال، في ١ أبريل ٢٠٠٥، صدر المؤشر الاقتصادي المهم رواتب القطاع غير الزراعي. وبلغ عدد الوظائف الجديدة في الولايات المتحدة في شهر مارس +١١٠٠٠٠ وظيفة (كان التوقع +٢٢٥٠٠٠، والقيمة السابقة +٢٦٢٠٠٠).
الشكل ١. يظهر الرسم البياني لسعر اليورو/الدولار على الإطار الزمني دقيقتين كاستجابة طبيعية للسوق لبيانات مؤشر رواتب القطاع غير الزراعي الأمريكي في ٠١.٠٤.٢٠٠٥.
في الشكل ١، تظهر الاستجابة الطبيعية لسوق اليورو/الدولار لهذه «الإحصائية السيئة». وهنا يستغل صانعو السوق رقمين: الرقم المنشور في الساعة ١٦:٣٠ بتوقيت موسكو، والرقم المتوقع. وبما أن السوق كان قد «خصَّم» مسبقاً الرقم المتوقع (+٢٢٥٠٠٠) أثناء مرحلة الانتظار، فقد أصبح واضحًا فور نشر مؤشر رواتب القطاع غير الزراعي (الذي أظهر زيادة قدرها +١١٠٠٠٠ فقط في الوظائف الجديدة في مارس ٢٠٠٥) أن الدولار الأمريكي مُبالغ في تقييمه. وفهم صانعو السوق ذلك أولًا وردوا عليه فورًا: فخلال دقيقة واحدة، رفعوا سعر اليورو/الدولار أكثر من ٨٠ نقطة. وبعد ذلك، توقف صعود اليورو بسبب أوامر البيع من جانب البائعين (الدببة). وفيما بعد، خلال ٢٠–٣٠ دقيقة، رافق كل ارتفاع طفيف في سعر اليورو هجمات من البائعين، ما قد يدل (تقريبيًا) على هيمنة قوية للوعي الجماعي لدى المشاركين في سوق اليورو/الدولار لصالح البيع.
الشكل ٢. توضح الإحصاءات (للعقد الماضي) قفزات السعر في سوق USD/CHF عند صدور مؤشر رواتب القطاع غير الزراعي الأمريكي (على الإطارات الزمنية دقيقة، دقيقتين، ثلاث دقائق)، وكذلك بعد مرور ٥ دقائق و٢٠ دقيقة.
في الشكل ٢، تُظهر الإحصاءات (للعقد الماضي) قفزات السعر في سوق USD/CHF عند صدور مؤشر رواتب القطاع غير الزراعي الأمريكي (على الإطارات الزمنية دقيقة، دقيقتين، ثلاث دقائق)، وكذلك بعد مرور ٥ دقائق و٢٠ دقيقة. ونلاحظ أن توزيع تكرار القفزات حسب حجمها عند لحظة صدور الخبر (١٦:٣٠ بتوقيت موسكو) بعيدٌ جدًا عن التوزيع الغاوسي. ثم، وبعد خمس دقائق فقط (!)، يزداد التكرار بشكل حاد بالقرب من القفزة «الصفرية». وبعد ٢٠ دقيقة إضافية، يصبح التوزيع مشابهًا لشكل المنحنى الغاوسي. وتتيح لنا معاينة تشوه هذه المنحنيات الإحصائية في الوقت الفعلي، أثناء تطور وانطفاء سلاسل ماركوف في السوق، قياس مدة استمرار هذه السلسلة — حيث يتبين أن العملية تنطفئ في السوق المدروس بعد صدور خبر رواتب القطاع غير الزراعي الأمريكي خلال نحو ٢٥–٣٠ دقيقة.
وبالطبع، ليس كل متداول قادر على برمجة قياس الإحصاء الكسري في الوقت الفعلي أو تأكيد نهاية العملية الماركوفية بسبب تعقيد البرنامج المطلوب واحتياجه إلى أجهزة كمبيوتر ذات ذاكرة وصول عشوائي ضخمة. ومع ذلك، يمكن إيجاد حل بتحليل ديناميكية مؤشر الاتجاه «شريط بولينجر».
كما أن دراسة أدق لتكرار الأحداث حسب حجم القفزة السعرية عند الساعة ١٦:٣٠ (لحظة صدور مؤشر رواتب القطاع غير الزراعي الأمريكي، انظر الشكل ٢ — المنحنيات الأولى) على مختلف الإطارات الزمنية تسمح أيضًا بالتنبؤ بآثار التجميع (التكاثف) أثناء تشكيل السلسلة الماركوفية، مما يساعد لاحقًا في تحليل اتجاه تطور عملية تشكيل الأسعار ما بعد الماركوفية في السوق، حين يعود السوق فعليًا إلى «الذاكرة» (عملية ذات ذاكرة طويلة).
وبعد انتهاء العمليات الماركوفية في تشكيل الأسعار، تعود الذاكرة إلى السوق، وبالتالي فإن الديناميكية اللاحقة للسوق تعتمد إلى حد كبير على الوعي الجماعي للمشاركين فيه. فإذا كان هذا الوعي منظمًا بشكل كبير، فقد تنشأ اتجاهات وسيطة قوية ترافقها اضطرابات سعرية في الأصل محل الدراسة. ويمكن نمذجة هذه الاتجاهات بنجاح باستخدام نموذج قفزي-انتشاري. لكن هذه مسألة تستحق مقالة منفصلة.
