Die mathematische Modellierung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Wechselkurs einen bestimmten Niveau auf einem zukünftigen Zeitraum erreicht, wird als Extrapolationsaufgabe betrachtet, bei der die Anwendung mathematischer Werkzeuge zur Beschreibung von Modellen und Algorithmen mit Vorteilen des mathematischen Ansatzes für mehrstufige Informationsverarbeitungsprozesse, die Suche nach Lösungsmethoden und ihre Umwandlung in Programme verbunden ist.
Stufen und Aufgabenstellung der mathematischen Modellierung
Mathematische Modellierung stellt im Allgemeinen keine direkte Route zum Ziel dar, sondern eine wiederholte Rückkehr zu bereits durchlaufenen Stufen mit angepassten Daten – ein sequenzielles Annähern an eine zufriedenstellende Variante. Im ersten Schritt erfolgt eine Bewertung der realen Situation aus der Sicht der vorhandenen a priori-Modell und Ziel, und im zweiten Schritt entsteht eine inhaltliche Modell, die die Aufgabenstellung widerspiegelt. Diese Modell wird auf dem „eigenen“ Sprache der Aufgabe formuliert: Mechanik, Physik, Wirtschaft, Biologie, Soziologie usw. Dritter Schritt: Es wird die Struktur der Modell (also das am besten geeignete mathematische Werkzeug) gewählt, Art und Anzahl der Gleichungen, Art der Funktionen. Auf dem vierten Schritt werden gegebenenfalls Details der Modell konkretisiert (notwendige Approximationen, Anpassung der Koeffizienten der Gleichungen). Die Qualitätsprüfung der entstandenen Konstruktion mit Kriterien, deren Auswahl durch das Ziel der Modellierung bestimmt wird, erfolgt auf dem abschließenden fünften Schritt. Wenn die Qualität der Modell nicht zufriedenstellend ist, wird der Prozess vom Anfang oder von einem Zwischenschritt aus wiederholt – es wird eine nächste Näherung vorgenommen [1].
Trotz der unendlichen Anzahl von Situationen, Objekten und Zielen, die den Prozess mit ihrer Spezifität beeinflussen, können grundsätzliche Schritte der Modellierung identifiziert werden. Die Arbeit beginnt mit der Betrachtung der verfügbaren Informationen über das Objekt (experimentelle Daten über das Objekt selbst oder ähnliche Objekte; Theorien, die für die Beschreibung des untersuchten Objekttyps entwickelt wurden; intuitive Vorstellungen usw.) aus der Sicht des Forschungsziels, mit der Erhebung und vorläufigen Analyse von Beobachtungsreihen, und endet mit der Verwendung der erhaltenen Modell zur Lösung einer konkreten Aufgabe. Aber dieser Prozess ist normalerweise iterativ und wird häufig mit wiederholten Rückgängen in den Ausgangspunkt und Zwischenpunkte der Schema begleitet, sequenzielle Annäherungen an eine „gute“ Modell.
Abhängig von der Herkunft der Zeitreihen, entstehen zwei qualitativ verschiedene Situationen bei der Formulierung der Modellierungsfrage. Erster Fall: wenn die Beobachtungen eine Realisierung einer mathematischen Modell (System von Gleichungen) darstellen, die numerischen Methoden erzeugt haben. Für diese ist der Begriff „Rekonstruktion“ oder „Wiederherstellung“ von Gleichungen vollständig angemessen. Hier ist die Prüfung der Modellqualität einfacher, da ein „wahres“ ursprüngliches Gleichung vorhanden ist – mit diesem und den Eigenschaften seiner Lösungen kann man die Ergebnisse der Modellierung vergleichen. Außerdem kann man theoretische Bedingungen für die Effizienz von Modellierungsmethoden für verschiedene Systemklassen formulieren. Im zweiten, qualitativ anderen Fall, wenn die Zeitreihe aufgrund von Messungen eines echten Prozesses erzeugt wurde, existiert keine eindeutig richtige Modell und Erfolg der Modellierung kann nicht garantiert werden.
Extrapolation als erste Phase der Erstellung von Endprognosen
Man kann nur staunen über die „unfassbare Effizienz der Mathematik“, wenn eine „gute“ Modell erhalten wird [2,3]. Zum Beispiel besuchten im Jahr 1990 eine Gruppe amerikanischer Studenten das mächtigste Casino in Las Vegas und kehrten mit mehreren Millionen Dollar nach Hause zurück. Kluge Studenten eines technischen Colleges spielten während jedes Wochenendes eines Monats Blackjack und gewannen riesige Summen. Diese Jungs stammten aus dem weltberühmten Massachusetts Institute of Technology. Ihre millionenfachen Gewinne im Casino revitalisierten den stagnierenden Kampf zwischen Spielern und Casinos, der vor 40 Jahren von Professor Edward Thorp begonnen wurde. Thorp erkannte, dass unter anderen Spielen im Casino Blackjack das am leichtesten berechenbare ist, wenn man es mathematisch betrachtet. In den meisten Spielen, die mit Geld gespielt werden – Roulette, Würfel, Lotterie – definieren Ereignisse in der Vergangenheit nicht die Ereignisse in der Zukunft. Das gilt jedoch nicht für ein Spiel wie Blackjack.
Die grundlegende Problematik in Spielen besteht darin, Möglichkeiten von Einsätzen mit positivem Erwartungswert zu finden. Eine ähnliche Problematik im Investieren ist die Suche nach Möglichkeiten Investitionen mit „überflüssiger“ Rendite, unter Berücksichtigung von Risikokorrektur. Sobald solche günstigen Möglichkeiten identifiziert sind, muss der Spieler oder Investor entscheiden, welchen Teil seines Kapitals er setzen soll (investieren). Interesse an „überflüssiger“ Rendite besteht seit mindestens dem 18. Jahrhundert, mit der Diskussion des Petersburger Paradoxons von Daniel Bernoulli. Spieler müssen auch wissen, wie sie mit Geld umgehen. Auf Börsen (einschließlich Wertpapiermarktes) ist das Problem ähnlich, aber komplexer. Ein Spieler, der jetzt ein Investor ist, sucht nach „großem Gewinn bei kontrolliertem Risiko“. In beiden Fällen verwendete Edward Thorp den Kelly-Kriterium, das die erwartete Größe des Logarithmus der Rendite maximiert („maximiert die erwartete logarithmische Nutzen“) [4].
Die allgemeine Aufgabe der Extrapolation besteht darin, Werte einer Funktion zu finden, die die Änderung eines Indikators im Zeitraum beschreibt, an einem Punkt außerhalb des Beobachtungsintervalls dieser Funktion, was die Nutzung der Extrapolation für prognostische Zwecke ermöglicht. Bis heute hat sie sich als Verfahren zur Prognose einfacher prognostischer Modelle weit verbreitet. Die Extrapolation definiert die Trends der zukünftigen Entwicklung des untersuchten Phänomens unter der Voraussetzung, dass die Gesetzmäßigkeiten dieses Phänomens, die sich in der Vergangenheit gebildet haben, auch in der Zukunft bestehen bleiben. Diese Gesetzmäßigkeiten definieren die stabilsten Merkmale des prognostizierten Prozesses – seinen Trend, wobei angenommen wird, dass er mit Hilfe einer Funktion beschrieben werden kann.
Abb. 1. Börsenindikatoren als Indikatoren für z
