نموذج رياضي لاحتمال تحقيق مستوى في مسألة الاستقراء

يعتبر نموذج رياضي لاحتمال وصول سعر الصرف إلى مستوى معين في فترة زمنية مستقبلية كمسألة استقراء، حيث يتم استخدام الأدوات الرياضية لوصف النماذج والخوارزميات مرتبطة بالفوائد المقدمة من منظور منهج رياضي للعمليات متعددة المراحل معالجة المعلومات، والبحث عن طرق حلها وتحويلها إلى برامج.

مراحل وضع مسألة النمذجة الرياضية

النمذجة الرياضية في العموم تمثل طريقًا غير مباشر لتحقيق الهدف، بل يشمل العودة المتكررة إلى المراحل السابقة مع تعديل البيانات — التقارب التدريجي نحو الحل المرضٍ. في المرحلة الأولى، يتم تقييم الوضع الفعلي من منظور النموذج الأولي والهدف، وفي النتيجة تُشكل النموذج المحتوى الذي يعكس وضع المشكلة. هذا النموذج يُبنى بلغة مشكلة «الفيزياء»، «الاقتصاد»، «البيولوجيا»، «الاجتماع» وغيرها. المرحلة الثالثة: يتم اختيار هيكل النموذج (أي الأدوات الرياضية الأنسب)، نوع وعدد المعادلات، نوع الدوال. في المرحلة الرابعة، إذا لزم الأمر، تُحدد تفاصيل النموذج (إجراء التقريبات الضرورية، تكييف معاملات المعادلات). اختبار جودة النموذج الحاصل باستخدام معايير تحددها غاية النمذجة، يتم في المرحلة النهائية الخامسة. إذا لم تكن جودة النموذج مرضية، فإن العملية تُعاد من البداية أو من المرحلة الوسطى — يتم التقارب التالي [1].

على الرغم من عدد لا نهائي من المواقف، الكائنات والأهداف التي تدخل في العملية بخصائصها الخاصة، يمكن تحديد المراحل الأساسية للنمذجة. تبدأ العمل بمراجعة المعلومات الموجودة حول الكائن (بيانات تجريبية عنه أو عن كائنات مشابهة؛ نظريات تم تطويرها لوصف فئة الكائنات المدروسة؛ التصورات الذاتية وغيرها) من منظور الهدف البحثي، مع الحصول على تحليل أولي للمجاميع الملاحظة، وتنتهي باستخدام النموذج المكتسب لحل مهمة معينة. ولكن هذه العملية عادة ما تكون متكررة وتتم مع إعادة متكررة، العودة إلى النقاط البدائية والوسطى في الخريطة، التقارب التدريجي نحو «نموذج جيد».

اعتمادًا على أصل السلاسل الزمنية، تتشكل حالتان مختلفتان جوهريًا عند وضع مسألة النمذجة. الأولى: عندما تمثل الملاحظات تنفيذ نموذج رياضي (نظام معادلات) حصل عليه الأساليب العددية. بالضبط لهذه الحالة، تكمل بشكل كامل مصطلحات «إعادة بناء» أو «استعادة» المعادلات. هنا من الأسهل بكثير اختبار جودة النموذج، لأن هناك «المعادلة الأصلية الصحيحة» — يمكن مقارنة نتائج النمذجة معها ومع خصائص حلولها. بالإضافة إلى ذلك، يمكن صياغة شروط نظرية فعالية الأساليب النمذجية لفئات مختلفة من الأنظمة. في الحالة الثانية، والتي تختلف جوهريًا، عندما السلاسل الزمنية تم الحصول عليها نتيجة قياس عملية حقيقية, لا يوجد نموذج صحيح الوحيد وتعذر ضمان نجاح النمذجة.

الاستقراء كمرحلة أولية لبناء التنبؤات النهائية

يمكن فقط أن نشعر بالإعجاب «بفعالية الرياضيات المذهلة»، إذا تم الحصول على «نموذج جيد» [2,3]. على سبيل المثال، في منتصف التسعينيات، زار فريق من الطلاب الأمريكيين أحد أقوى كازينوهات لاس فيغاس وعادوا إلى المنزل ببعض ملايين الدولارات. كان الطلاب الماهرّون من جامعة تقنية خلال كل عطلة نهاية أسبوع شهر واحد يلعبون البلاك جاك ويحققون مكاسب هائلة. هؤلاء الشباب كانوا من معروف عالميًا معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. انتصاراتهم المليونية في الكازينو أعادت الحياة إلى الحرب المتجمدة بين اللاعبين والكازينو، التي بدأت منذ 40 عامًا من قبل البروفيسور الرياضيات إدوارد تورب. لقد أدرك أن من بين الألعاب الأخرى في الكازينو، البلاك جاك هو الأكثر قابلية للحساب، إذا تم تقييمه من منظور رياضي. في معظم الألعاب التي تتم بأموال — القمار، ألعاب النرد، اليانصيب — في جميعها، لا تحدد الأحداث في الماضي الأحداث في المستقبل. لكن هذا لا ينطبق على لعبة مثل البلاك جاك.

المشكلة الأساسية في الألعاب هي البحث عن فرص الرهانات ذات التوقع الإيجابي. مشكلة مشابهة في الاستثمار — البحث عن فرص الاستثمار مع عائد «الزائد»، مع الأخذ في الاعتبار تصحيحات المخاطر. بمجرد تحديد الفرص المواتية، يجب على اللاعب أو المستثمر تحديد ما نسبة رأس المال الذي سيضعه على المحك (سيستثمر). الاهتمام بالعائد الزائد موجود، على الأقل، منذ القرن الثامن عشر، مع مناقشة بارادوكس سانت بطرسبرغ من دانييل بيرنولي. ولكن أيضًا يحتاج اللاعب إلى معرفة كيفية إدارة الأموال. على أسواق الأسهم (بما في ذلك سوق الأوراق المالية) تشبه هذه المشكلة، ولكن أكثر تعقيدًا. اللاعب الذي أصبح الآن مستثمرًا يبحث عن «ربح كبير مع مستوى متحكم فيه من المخاطر». في كلا الحالتين، استخدم إدوارد تورب معيار كيلي، الذي يزيد من القيمة المتوقعة للسجل («يُحسن من قيمة المتعة اللوغاريتمية المتوقعة») [4].

المهمة العامة للاستقراء هي العثور على قيم دالة معينة تصف تغير المؤشر مع الوقت، في نقطة تقع خارج نطاق الملاحظة للدالة المذكورة، مما يسمح باستخدام الاستقراء للأهداف التنبؤية. حتى الآن، وجدت تطبيقًا واسعًا كـ وسيلة للتنبؤ بالنموذج التنبؤي البسيط. يستنتج الاستقراء اتجاهات تطور الظاهرة المدروسة بشرط أن تبقى القوانين التي تشكلت في الماضي موجودة في المستقبل. هذه القوانين تحدد الميزات الأكثر استقرارًا للعملية المقدرة — اتجاهها، مع افتراض أن يكون من الممكن وصفها باستخدام أي دالة.

الشكل 1. مؤشرات السوق كمؤشرات لاتجاهات المستقبل على فوركس.

في الرياضيات التطبيقية، غالبًا ما يُواجه حل مسألة استقراء معينة. لنفترض أن последовательية {z} معروفة N الحد الأول. هل يمكن استخدام هذه المعلومات:
1)     تحديد أن هذه السلسلة تتقارب إلى حد;