تُعتبر نماذج الأسواق المالية الحديثة وعمليات تشكيل الأسعار فيها عادةً ديناميكية أسعار خلال فترة زمنية بسيطة كنتيجة لتأثير عاملين: زيادة محددة فورية وزيادة عشوائية. يشمل العامل الأول تعويض المخاطر المتوقعة، بالإضافة إلى تأثير العوامل مثل التأثيرات النمائية والسلوك الجماعي في بيئة التداول. أما العامل الثاني، فهو يشمل مكون الضوضاء في ديناميكية الأسعار بحجم يسمى التحفظ. كما يمكن أن يمثل معلمة منتظمة تدار بواسطة التأثيرات النمائية وأخرى. إذا كان العامل الأول في تشكيل الأسعار غائبًا، والـالتحفظ ثابتًا، فإن العنصر الثاني يشكل بمفرده مسارات للحركة العشوائية.
عملية ماركوف الأساسية
لنبدأ باستعراض عملية ماركوف الأساسية لتسعير السوق. ولكن أولاً لننظم المفاهيم الأساسية.
- العملية العشوائية النهائية تُعرف بأنها عملية ذات قيم مستقلة، إذا
(1) لأي تصريح ر صحة هذا التصريح تعتمد فقط على نتائج التجارب قبل n,
ر {f = sj|ر} = ر{f= sj}.
لهذه العمليات، لا يؤثر معرفة نتائج التجارب التي تم ملاحظتها بالفعل على توقعنا بشأن التجربة التالية. بالنسبة للعمليات ماركوف، يتم إضعاف هذا الشرط، مع السماح بتأثير قيمة النتيجة السابقة مباشرة على هذا التوقع.
— العملية ماركوف النهائية تُعرف بأنها عملية عشوائية نهائية بحيث
(2) لأي تصريح ر صحة هذا التصريح تعتمد فقط على نتائج التجارب قبل n,
ر {f = sj|(f-1=si) ^ ر} = ر{f= sj| f-1= si }.
(يُفترض أن f-1= si ور متوافقة).
يُسمى الشروط (2) خاصية ماركوف. أحيانًا يُستخدم مصطلح «عملية ماركوف» لوصف عملية عشوائية ذات وقت متواصل تفي بخاصية ماركوف، بينما يُسمى الكائن المعرّف في (2) سلسلة ماركوف ذات عدد محدود من الحالات.
— سلسلة ماركوف النهائية تُعرف بأنها عملية ماركوف نهائية حيث لا تعتمد احتمالات الانتقال pij(n) على n.
من المناسب هنا تذكير أن احتمالات الانتقال في الخطوة n، والتي تُرمز عادةً إلى pij(n)، هي:
pij(n) = ر[f= sj| f-1= si].
يمكن اعتبار سلسلة ماركوف كعملية تنتقل من حالة إلى أخرى. تبدأ باحتمال pij(0) في si. إذا كان في أي وقت في الحالة si، فإنه ينتقل إلى si باحتمال pij. يمكن فهم الاحتمالات الأولية على أنها احتمالات لكل بدء محتمل ممكن.
المتجه الاحتمالات الأولية مع مصفوفة الانتقال تحدد تمامًا سلسلة ماركوف كعملية عشوائية، لأنها كافية لبناء القياس الكامل على الشجرة (فرع النتائج). مصفوفة الانتقال لسلسلة ماركوف تُعرف بأنها مصفوفة ر ذات عناصر pij. يُعرف المتجه الاحتمالات الأولية (أو التوزيع الأولي) بأنه المتجه π0 = {pj(0)} = { ر[ f0= sj]}.
وبالتالي، إذا تم تحديد متجه احتمالات أولية π0 ومصفوفة احتمالات أولية ر، فإن هناك سلسلة ماركوف واحدة فقط (باستثناء تحويل الحالة)، تكون π0 التوزيع الأولي، ور مصفوفة الانتقال.
أمثلة عمل عملية ماركوف
لأن نفهم أفضل ما نتحدث عنه، دعنا ننظر في أمثلة توضيحية.
1. تشخيص السوق.
لنفترض أن السوق لم يكن نشيطًا يومين متتاليين. إذا كان السوق صاعدًا، فإن اليوم التالي سيكون لديه احتمالات متساوية بين الاتجاه المحايد أو انخفاض الأسعار. إذا كان السوق في الاتجاه المحايد (أو كان هناك انخفاض في الأسعار)، فإن السوق سيكون لديه احتمالات متساوية ليظل بنفس الحالة أو يتغير. إذا تغير، فإن نصف الحالات ستكون ارتفاعًا في الأسعار في اليوم التالي.
مع هذه الشروط، من المفيد تمثيل السوق كسلسلة ماركوف بثلاث حالات: S = {الاتجاه المحايد (H)، الصاعد (B)، الهابط (S)} ومصفوفة انتقال:
2. الحركة العشوائية النهائية لسعر الأصل. يبدأ سعر العملة بالتحرك العشوائي في نطاق سعر بين الدعم (S) والمقاومة (R). يكون مستوى السعر الأولي
