Mathematische Modellierung der Wahrscheinlichkeit eines Trendfortsatzes

Der Trend einer Zeitreihe ist oft mit den Wirkungen physikalischer Gesetze oder anderer objektiver Gesetzmäßigkeiten verbunden. Es ist jedoch nicht eindeutig möglich, einen zufälligen Prozess oder eine Zeitreihe in reguläre Teil (Trend) und schwingende Teil (Rest) zu trennen. Daher wird normalerweise angenommen, dass der Trend eine Funktion einfacher Form (linear, quadratisch usw.) ist, die das “Verhalten insgesamt” der Reihe oder des Prozesses beschreibt. Wenn die Auszeichnung dieses Trends die Forschung vereinfacht, wird die Annahme über die gewählte Form des Trends als zulässig angesehen.Ris. 1. Trend der Wochenkarte Dollar/Ruble.

Nach der Identifizierung eines linearen Trends muss geklärt werden, wie signifikant er ist. Dies geschieht mit Hilfe von der Korrelationsanalyse. Das Problem besteht darin, dass die Abweichung des Korrelationskoeffizienten von Null und damit die Existenz eines echten Trends (positiv oder negativ) zufällig sein kann und mit der Besonderheit des betrachteten Zeitraums der Zeitreihe zusammenhängen kann. Mit anderen Worten, bei der Analyse eines anderen Satzes experimenteller Daten (für dieselbe Zeitreihe) kann es sich erweisen, dass die dabei erhaltene Schätzung viel näher an Null liegt als die ursprüngliche (und möglicherweise sogar einen anderen Vorzeichen hat), und es ist schwierig, von einem echten Trend zu sprechen.

Für die Prüfung der Signifikanz des Trends wurden in der mathematischen Statistik spezielle Methoden entwickelt. Eine davon basiert auf der Prüfung mit dem Student-Verteilung.Ris. 2. Trend der Wochenkarte Euro/Dollar.

Außerdem müssen manchmal Trends komplexer Struktur berücksichtigt werden. Dabei ist es normalerweise nicht möglich, im Voraus eine Funktion anzugeben, mit der dieser Trend beschrieben werden kann. Daher werden in der Praxis häufig mehrere einfache funktionale Abhängigkeiten (mit Parametern) durchgegangen und für jede davon beurteilt, wie erfolgreich eine Funktion dieses Typs den Trend der betrachteten Zeitreihe beschreiben kann. Bei Verwendung eines Computers benötigen diese Berechnungen nicht viel Zeit, und manchmal können sie sogar automatisch durchgeführt werden, wobei unter mehreren definierten Trendtypen der optimale ausgewählt wird. Doch nicht immer ist unter den betrachteten Funktionen eine vorhanden, die den Trend der gegebenen Zeitreihe effizient genug beschreibt. In diesem Fall müssen andere Wege eingeschlagen werden. Insbesondere werden dann verschiedene Transformationen der Elemente der Zeitreihe (Logarithmierung, Differentiation – Bildung der Differenzen benachbarter Elemente der Reihe, Integration – Summation aufeinanderfolgender Elemente der Reihe usw.) durchgeführt, um versuchen zu können, eine Zeitreihe mit deutlich ausgeprägtem linearem Trend zu erhalten. Wenn dies gelingt, werden die oben beschriebenen Methoden auf die erhaltenen Reihe angewandt und anschließend mit umgekehrter Transformation zur ursprünglichen Reihe zurückgekehrt. Es sollte nochmals betont werden, dass die Form des Trends nicht eindeutig durch die Reihe selbst bestimmt wird und ein bestimmtes bedingtes Objekt ist, das zur besseren Verständnis der Besonderheiten des betrachteten Prozesses herangezogen wird.

Es ist schwierig, die Erkennung und Automatisierung der Bewertung des Trends in einer Zeitreihe zu modellieren. Allerdings ist es möglich, solche Reihen zu analysieren, wenn der Trend monoton ist (stabil wächst oder stabil abnimmt). Wenn Zeitreihen eine große Fehlerquote enthalten, ist der erste Schritt zur Identifizierung des Trends die Glättung. Sie beinhaltet immer eine Methode der lokalen Mittelwertbildung, bei der nicht-systematische Komponenten sich gegenseitig aufheben. Der allgemeinste Glättungsansatz ist das gleitende Durchschnittsverfahren, bei dem jeder Element der Reihe durch ein einfaches oder gewichtetes Durchschnittswert der benachbarten Elemente ersetzt wird, wobei L die Breite der Stichprobe ist. Als Alternative zum Durchschnitt kann auch der Median der Werte verwendet werden, die in die Stichprobe fallen. Das Hauptvorteil des Medians Glättung im Vergleich zur gleitenden Durchschnittsverfahren besteht darin, dass die Ergebnisse stabiler gegenüber Ausreißern (die innerhalb der Stichprobe vorhanden sind) werden. Somit führt die Median-Glättung in der Regel zu glatteren oder zumindest zu zuverlässigeren Kurven im Vergleich zum gleitenden Durchschnitt mit derselben Stichprobe, wenn in den Daten Ausreißer (zum Beispiel aufgrund von Messfehlern) vorhanden sind. Der Hauptnachteil der Medians Glättung besteht darin, dass sie bei fehlenden klaren Ausreißern zu “zackigeren” Kurven führt (im Vergleich zur gleitenden Durchschnittsverfahren) und keine Gewichtskoeffizienten verwendet.

Selten, wenn die Messfehler sehr groß sind, wird die Glättung mit der Methode der kleinsten Quadrate verwendet, gewichtet nach Entfernung, oder die Methode der negativen exponentiellen gewichteten Glättung. Alle diese Methoden filtern Rauschen und transformieren die Daten in eine relativ glatte Kurve. Zeitreihen mit relativ geringer Anzahl von Beobachtungen und systematischer Anordnung der Punkte können mit Splines geglättet werden. Doch können viele monotone Zeitreihen gut durch eine lineare Funktion approximiert werden. Falls jedoch eine klare monotone nichtlineare Komponente vorhanden ist, sollten die Daten zunächst transformiert werden, um die Nichtlinearität zu beseitigen. Normalerweise werden hierzu logarithmische, exponentielle oder (seltener) polynomiale Datentransformationen verwendet.

Allgemeines oberflächliches Wissen über das Thema der Wirtschaftstheorie erzeugt Verachtung gegenüber dem speziellen Wissen darüber – die Aussage des Nobelpreisträgers M. Friedman [2]. Von praktischer Sicht ist jedes Mal, wenn auf Grundlage der Erwartung des Fortbesteh