Разнообразие ситуаций, объектов и целей выливается в неограниченное множество специфических постановок задач моделирования и путей их решения. Тем не менее, среди них можно выделить нечто общее, обязательное – этапы, в той или иной степени реализуемые при построении большинства математических моделей. Этапы можно представить пятью блоками, границы которых ограничены тем более строгими линиями, чем сильнее эти этапы могут быть «алгоритмизированы».
Этапы моделирования
Сама процедура моделирования в общем случае представляет собой не прямую дорогу к цели, а неоднократный возврат на уже пройденные ступени, их повторение с подправленными данными – последовательное приближение к удовлетворительному варианту. В общем случае все начинается с оценки реальной ситуации с позиций имеющейся априорной модели и цели (1 этап), в результате формируется содержательная модель (2 этап), отражающая постановку задачи. Содержательная модель формируется на «родном» языке задачи: механики, физики, экономики, биологии, социологии и т.д. Затем выбирается структура модели – наиболее подходящий математический аппарат, вид и число уравнений, вид функций (3 этап). На следующем (4) этапе, если это требуется, конкретизируются детали модели (делаются необходимые аппроксимации, подгоняются коэффициенты уравнений) и, наконец, на 5-ом этапе с помощью критериев, выбор которых диктуется целью моделирования, проверяется качество получившейся конструкции. Если качество модели неудовлетворительно, процедура повторяется с начала или с промежуточного этапа, и делается следующее приближение.
Интуиция трейдера
Обман чувств трейдера могут привести к ложным представлениям о рынке, хотя его интуиция стремится к тому, чтобы не только иметь правильные мысли, но и соответствующие впечатления. Именно ощущение действительности и правильные представления о ней поставляют информацию для интуиции. Интуиция предполагает наличие внимания и открытости.
Чтобы быть способным на это, человек должен быть необременен и уверен в себе. Несмотря на любые задачи, которые необходимо выполнять, он остается таковым до тех пор, пока испытывает чувство внутренней свободы и удовлетворение. Несмотря на всю неопределенность, царящую в торговом мире, инвестор будет чувствовать себя гармонично, если он сможет обрести уверенность в себе и самоуважение.
Люди воспринимают не непосредственно наблюдаемый объект, а информацию о нем, которую дают органы чувств, т.е. получают не картину объективной реальности, а картину отношений между человеком и реальностью. На основе чувственного восприятия формируются образные модели. Но, говоря об образных моделях, не следует их полностью отождествлять с образами, рожденными через органы чувств необремененного научным знанием человека, как это делали наши предки. Образы могут формироваться в процессе обучения (в семье, школе, вузе, компании) или в процессе собственной практики (научной деятельности, участия в производстве). Соответствие образов реалиям приходится контролировать с учетом погрешностей чувственного восприятия, возможных заблуждений учителя, ошибочности сложившихся на данном этапе исторического развития научных представлений и т.п. Многие примеры демонстрируют ненадежность информации, получаемой через органы чувств и чувственной интуиции, – той интуиции, которая формируется как результат взаимосвязи опыта, чувственных восприятий и грубых догадок.
Интуиция качественно меняется, если опирается на научное знание и, в первую очередь, на математику. Например, научный анализ движения на основе понятий динамики позволяет более правильно ответить на вопрос, как должно быть направлено ружье при стрельбе в мишень, которая начинает падать в момент выстрела или куда упадут ключи, выпавшие на ходу у вас из руки. Чувственная интуиция подсказывает варианты наклонить ствол к земле, а ключи искать где-то сзади. Научный же анализ говорит о том, что ствол должен быть горизонтален, и направлен в начальную точку расположения мишени, а ключи упадут у ноги, как если бы вы стояли. С опытом научного подхода к оценке фактов меняется и интуиция. Основанная не на чувственном, а на научном знании, в частности, с использованием математических приемов, она становится средством движения вперед, к поиску новых знаний.
Эффективность математики
Непостижимая эффективность математики заслуживает отдельного обсуждения. Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира – появилась как набор полезных правил и формул для решения практических задач, с которыми люди сталкивались в повседневной жизни. Ее начали создавать еще цивилизации Древнего Египта и Вавилона около 3 тысячелетия до н.э. Но только приблизительно в 6 веке до н.э. древние греки уловили возможность использования математики в качестве инструмента для получения новых знаний. Речь идет о неоднократно подтвержденных научной практикой случаях, когда результат сначала предсказывается на бумаге, а только потом специально поставленным экспериментам удается найти новое – доселе не известное человеку. Так, например, из расчета траекторий движения небесных тел обнаруживались неизвестные планеты и их спутники; на бумаге было предсказано искривление светового луча при его прохождении в окрестности тела большой массы.
Достоверных документов, способных рассказать, что заставило греков прийти к новому пониманию математики и ее роли, не сохранилось. Существуют лишь более или менее правдоподобные догадки историков. По одной из них, греки обнаружили противоречия в результатах по определению площади круга, полученных в Вавилоне, и стали выяснять, какой из результатов верен. По другой, новая дедуктивная математика ведет историю от Аристотелевой логики, возникшей в пылу дискуссий на общественно-политические темы. По-видимому, математика как логический вывод и средство познания природы появилась в связи с тем, что к 6 веку до н.э. сложилось миропонимание, сводящееся к следующему: природа построена рационально, а явления протекают по точному плану, который в конечном плане является математическим. Человеческий разум всесилен, а поэтому упомянутый план можно познать. Основанием к оптимизму являлось, например, осознание общности формы Луны, мяча и еще целого ряда предметов, открытие зависимости высоты звука, издаваемого струнами, от их длины и того, что гармонические созвучия издают струны, длины которых относятся как некоторые целые числа. В результате подобных наблюдений родились два основополагающих утверждения:
1) природа устроена на математических принципах,
2) числовые соотношения – основа, единая сущность и инструмент познания порядка в природе.
Математический метод
Шли века, под натиском римских и мусульманских завоевателей погибла греческая цивилизация, но математика осталась. Поднимались на историческую арену и уходили вожди и народы, а вместе с человечеством развивалась математика, менялись взгляды на ее роль и значимость для человеческого сообщества. Наибольшее развитие она получила в последние столетия и заняла свое особое место в науке и среди инструментов познания мира. В итоге сформировалось то, что называют математическим методом, имеющим следующие характерные особенности:
1) введение основных понятий, одни из которых подсказаны непосредственно реальным миром (точка, линия, целое число и др.), а другие созданы человеческим разумом (функции, уравнения, матрицы и др.). Интересно, что часть понятий вовсе лишена интуитивной основы (подсказки природы), например, отрицательные числа. Такие понятия принимались научной общественностью с трудом, лишь после демонстрации их несомненной полезности;
2) абстрактность. Понятия математики охватывают существенные черты разнородных объектов, отвлекаясь от их конкретной природы. Так, прямая отражает свойства всех натянутых веревок и канатов, краев линеек, траекторий световых лучей в комнате;
3) идеализация. Говоря о линии, математик отвлекается от толщины меловой линии, принимает Землю за идеальную сферу и т.д;
4) используемый метод рассуждения. Он является наиболее существенной особенностью и опирается на принятие аксиом (истин, не требующих доказательств) и дедуктивный (использующий определенные законы логики) способ доказательства, позволяющий получать заключения, не менее надежные, чем исходные посылки;
5) использование специальных символов. Математических систем очень много, но более совершенной считается та, в которой меньше аксиом. Эти математические «игры» оказываются очень полезными, демонстрируя находки, которые позволяют лучше разобраться в реальном мире. Математика полезна особенно там, где речь идет о деталях сложных явлений, когда установлены основные законы. Например, если сравнивать с шахматами, то законы – правила игры, по которым движутся фигуры, а математика проявляет себя при подсчете вариантов. В шахматах законы можно сформулировать на русском, английском языках, а в физике даже для их формулировки нужна математика. Нельзя честно объяснить все красоты законов природы так, чтобы люди воспринимали их одними чувствами, без глубокого понимания математики. Как ни прискорбно, но, по-видимому, это факт [1,2]. Причина в том, что математика не просто язык, а «язык плюс рассуждение», «язык плюс логика». «Угадывание уравнений, по-видимому, очень хороший способ открывать новые законы».
В чем же причина исключительной эффективности математики? Почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами и явлениями, если сама она является произведением человеческой мысли? Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем только размышлений понимать свойства реальных вещей? Согласуется ли природа с человеческой логикой? Почему в тех случаях, когда явление понято нами и приняты соответствующие формулировки (аксиомы), сотни следствий оказываются столь же применимыми к реальному миру? Эти вопросы находятся в «списке» вечных вопросов философии науки.
Всех, кто пытался разобраться с ними, а над этим задумывалось большое число мыслителей от древности до наших дней, по ответам можно условно разделить на 2 группы [2]. Первые считают, что математики подбирают аксиомы так, чтобы выводимые из них следствия согласовались с опытом, т.е. математика подстраивается под природу. Другими словами, всеобщие и необходимые законы опыта принадлежат не самой природе, а только разуму, который вкладывает их в природу, т.е. научную истину создают, а не находят. Вторые считают, что мир основан на математических принципах; в религиозном варианте – создатель построил мир на принципах математики. Среди и первых, и вторых много великих имен – этот вопрос нельзя обойти, если занимаешься исследованием природы. Естественна и незавершенность дискуссии – обсуждаемые вопросы не случайно в списке вечных проблем теории познания [3,4].
Истинная модель – есть ли она?
Вопросы о роли математики, ее исключительной эффективности и статусе математических положений при всей их неразрешенности имеют своим продолжением размышления на тему количества моделей одного объекта. Если реальные объекты обладают бесконечным набором свойств, то при конечном числе характеристик объекта, учитываемых одной моделью, можно говорить о возможном бесконечном их числе. В то же время, если мир устроен по законам математики, можно ожидать существования наилучшей, истинной модели. Но с позиций, объясняющих всесилие математики ухищрениями человеческого ума, нет никаких оснований рассчитывать на существование «истинной» (обратите внимание на кавычки) модели. Даже из сказанного следует, что простой ответ на поставленный в заголовке вопрос отсутствует. Важное место в теории познания по рассматриваемому вопросу занимают утверждения Н. Бора, известные как «принцип дополнительности».
«Затруднения, с которыми мы встречаемся на … пути приспособления наших представлений, заимствованных из ощущений, к постепенно углубляющимся знаниям законов природы», – писал Бор, – «…происходят, главным образом, от того, что, так сказать, каждое слово в языке связано с нашими обычными представлениями… Я надеюсь, что идея дополнительности способна охарактеризовать существующую ситуацию, которая имеет далеко идущую аналогию с общими трудностями образования человеческих понятий, возникающими из разделения субъекта и объекта» [5,6].
Он считал, что принципиально невозможно создать теоретическую модель, которая была бы полезна и для практики, не используя элементы эмпиризма. Так, в микромире, в соответствии с принципом неопределенности, нельзя точно указать положение частицы и ее импульс; эта пара переменных взаимно дополняет друг друга. Если мы хотим точно узнать координату микрочастицы, то теряем в точности определения скорости. По Н. Бору, в похожих отношениях дополнительности находятся точность модели и ее ясность. «…Наша способность анализировать гармонию окружающего мира и широта восприятия всегда будут находиться во взаимно исключающем, дополнительном соотношении» [5,6]. Необходимо описание основных положений принципа дополнительности, адаптированное к проблеме математического моделирования валютного курса.
Литература
1. Соболев В.В. Валютный дилинг на финансовых рынках/ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). – Новочеркасск, 2009. – 442 с.
2. Клайн М. Математика. Поиск истины. М.: Мир, 1988. 295 с.
3. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983.
4. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент (введение в нелинейную динамику). М.: Эдиторил УРСС, 2000. 256 с.
5. Бор Н. Избранные научные труды. Т. 2. М.: Наука, 1971.
6.Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005. 320 с.
