แฟร็กทัลของม็องเดลโบรต์

เราทุกคนดำรงอยู่ในความเป็นจริงที่ก่อรูปจากแนวคิดของตนเอง ตลาดคือกระจกที่สะท้อนมุมมองของเรา ผู้ที่เกี่ยวข้องกับตลาดไม่เคยเผชิญหน้ากับความจริงโดยตรง แต่จัดการกับมุมมองหรือความเชื่อของตนเองเท่านั้น บางครั้ง ความเชื่อเหล่านี้แพร่กระจายจนกลายเป็นสิ่งที่เราเรียกว่า ‘เทรนด์’ ‘แนวรับ’ หรือ ‘รูปแบบกราฟิก’ นักวิเคราะห์มักกล่าวว่า ‘กำไรที่เพิ่มขึ้นนำไปสู่การซื้อหุ้น’ หรือ ‘ราคาน้ำมันลดลงจากการขายของนักลงทุน’

แต่ในความเป็นจริง เราไม่มีใครรู้แน่ชัดว่ากำลังเกิดอะไรขึ้น ทุกคนใช้เพียง ‘แบบจำลอง’ ที่เป็นเวอร์ชันย่อและเรียบง่ายของตลาดเท่านั้น ความสำเร็จของเราขึ้นอยู่กับว่า แบบจำลองที่เราใช้นั้นใกล้เคียงกับความเป็นจริงมากน้อยเพียงใด

ต้นศตวรรษที่ 21 ได้เขย่าทฤษฎีการเงินสมัยใหม่อย่างรุนแรง การล้มละลายของบริษัทลงทุนขนาดใหญ่และวิกฤตการเงิน ทำให้แบบจำลองที่นักวิเคราะห์และ เทรดเดอร์ ทั่วโลกใช้งานอยู่ถูกตั้งคำถามอย่างหนัก ที่ปรึกษาการลงทุนบางคนก็ยอมแพ้ บางคนยังยึดมั่นกับทฤษฎีที่ล้าสมัย แต่ความเป็นจริงนั้นหลีกเลี่ยงไม่ได้ — ตลาดไม่สามารถอธิบายได้ด้วยทฤษฎีการเดินสุ่ม (Random Walk), เส้นโค้งเกาส์เซียน, แบบจำลองมาร์คอวิทซ์ หรือสูตรแบล็ก-โชลส์

แบบจำลองดังกล่าวกลับเป็นการเลียนแบบที่ห่างไกลจากความจริงอย่างมาก นี่จึงเป็นเหตุผลที่ความสนใจในทฤษฎีทางเลือกที่อธิบายพฤติกรรมของตลาดการเงินเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว

หนึ่งในทฤษฎีดังกล่าว ซึ่งเราจะพูดถึงในบทความนี้ คือ เรขาคณิตแฟร็กทัล ทฤษฎีนี้ไม่ใช่เรื่องใหม่ และถูกนำไปประยุกต์ใช้ในหลากหลายสาขาอย่างแข็งขัน

เรขาคณิตแฟร็กทัล

คำว่า “แฟร็กทัล” ในหมู่เทรดเดอร์ชาวรัสเซีย มักเชื่อมโยงกับชื่อของบิล วิลเลียมส์ โดย “แฟร็กทัลของวิลเลียมส์” เป็นที่รู้จักกันดีและยังถูกบรรจุไว้ในรายการอินดิเคเตอร์ของแพลตฟอร์ม MetaTrader 4 อย่างเป็นทางการ แต่แทบไม่มีใครรู้จักชื่อของผู้ริเริ่มแนวคิดนี้อย่างแท้จริง นั่นคือ เบอนัวต์ ม็องเดลโบรต์ นักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงและผู้ก่อตั้งเรขาคณิตแฟร็กทัล บางทีบทความนี้อาจไม่เคยมีขึ้นเลย หากเบอนัวต์ ม็องเดลโบรต์ ไม่ได้ศึกษาการประยุกต์ใช้แฟร็กทัลกับตลาดการเงินอย่างจริงจัง

แล้วแฟร็กทัลคืออะไร?

แฟร็กทัล คือ รูปร่างหรือ ‘โครงสร้าง’ ที่มีคุณสมบัติของการ ทำซ้ำตัวเองในระดับมาตราส่วนที่ต่างกัน วิธีที่ดีที่สุดในการอธิบายแนวคิดนี้คือการยกตัวอย่าง โปรดสังเกตรูปที่ 1 คุณเห็นอะไร?

สายตาของคุณคงสังเกตเห็นรูปสามเหลี่ยมโดยรวมก่อนเป็นอันดับแรก แต่หากพิจารณาอย่างละเอียดยิ่งขึ้น เราจะพบว่าสามเหลี่ยมใหญ่นั้นประกอบด้วยสามเหลี่ยมย่อยอีกสามรูปที่ถูกฝังอยู่ภายใน และแต่ละสามเหลี่ยมย่อยนั้นก็มีสามเหลี่ยมย่อยเล็กลงอีกสามรูปฝังอยู่ภายในเช่นกัน — กระบวนการนี้ดำเนินต่อไปเรื่อยๆ

ตัวอย่างที่ยกมานี้คือรูปทรงยอดนิยมที่รู้จักกันในชื่อ “พรมเซอร์ปินสกี” ที่ระดับใดๆ ของรูปทรงนี้ องค์ประกอบแต่ละส่วนจะมีลักษณะคล้ายคลึงกับองค์ประกอบที่ระดับมาตราส่วนที่สูงกว่าหรือต่ำกว่า องค์ประกอบพื้นฐานหรือรูปร่างที่เป็นรากฐานของแฟร็กทัลเรียกว่า “ตัวเริ่มต้น (Initiator)” ส่วนโครงสร้างหรือรูปแบบที่ทำซ้ำตัวเองนั้นเรียกว่า “ตัวสร้างรูปแบบ (Generator)” สำหรับ “พรมเซอร์ปินสกี” ตัวเริ่มต้นอาจเป็นจุดเดียว ส่วนตัวสร้างรูปแบบคือสามเหลี่ยม

แต่สิ่งนี้จะช่วยให้เราเข้าใจตลาดการเงินได้อย่างไร?

การสังเกตที่ 1: การอธิบายตลาดด้วยแฟร็กทัล

ปรากฏว่า พฤติกรรมของตลาดสามารถอธิบายได้ด้วย แฟร็กทัล องค์ประกอบกราฟิกพื้นฐานที่สุดของตลาดคือเส้นตรงที่มีทิศทางจากบนลงล่าง หรือจากล่างขึ้นบน ซึ่งเทรดเดอร์ทุกคนเข้าใจดี — ราคาจะขึ้นหรือลงตามเวลาที่ผ่านไป

ดังนั้น เราจึงมีตัวเริ่มต้นที่มีลักษณะดังนี้ (ดูรูปที่ 2 และ 3)

รูปที่ 2 แสดง “ผู้เริ่มต้น – การเพิ่มขึ้น” พร้อมเส้นสีเขียวชี้ขึ้น และรูปที่ 3 แสดง “ผู้เริ่มต้น – การลดลง” พร้อมเส้นสีเขียวชี้ลง ทั้งสองภาพใช้แท่งเทียนเพื่อแสดงทิศทางของราคาที่เริ่มโดยผู้เริ่มต้นการเคลื่อนไหว

แม้แต่การเคลื่อนไหวของราคาในช่วงเวลาเพียงหนึ่งนาที ก็ยังให้ผลเป็นเส้นที่เชื่อมระหว่างราคาเปิดกับราคาปิด ตัวสร้างรูปแบบสำหรับการเคลื่อนไหวของราคาคือโครงสร้างที่แพร่หลายอีกแบบหนึ่ง ซึ่งเทรดเดอร์คุ้นเคยดี — “แรงส่ง-ปรับฐาน-แรงส่ง” ซึ่งมีลักษณะดังแสดงไว้ด้านล่าง (ดูรูปที่ 4 และ 5)

ภาพบน (Рис. 4) แสดงสัญญาณ-generator ที่บ่งบอกถึงแรงส่งของขาลง (impulse – fall) ในขณะที่ภาพล่าง (Рис. 5) แสดงสัญญาณเดียวกันแต่บ่งบอกถึงแรงส่งของขาขึ้น (impulse – growth) เส้นสีเขียวในกราฟทำหน้าที่เชื่อมจุดสำคัญเพื่อแสดงทิศทางและโมเมนตัมของการเคลื่อนไหวของราคาในแต่ละรูปแบบ

จำนวนตัวสร้างรูปแบบในตลาดอาจมีได้ไม่สิ้นสุด และจุดเปลี่ยนทิศทางอาจไม่จำกัดเพียงสองจุดเท่านั้น แล้ว ข้อมูล ที่ได้จากโครงสร้างเหล่านี้จะมีประโยชน์ต่อเทรดเดอร์อย่างไร?

หากพิจารณาการเคลื่อนไหวของราคาของสินทรัพย์ใดสินทรัพย์หนึ่ง เราจะเห็นว่าโครงสร้างของตัวสร้างรูปแบบนั้นปรากฏซ้ำกันในทุกระดับของกราฟเวลาของสินทรัพย์นั้น สมมุติว่าการเคลื่อนไหวของราคาภายในหนึ่งปีมีโครงสร้างพื้นฐานที่ประกอบด้วยแรงส่งสองช่วงและปรับฐานหนึ่งช่วง เช่นเดียวกับที่แสดงในรูปที่ 2 หรือ 3 หากเราแทนที่แรงส่งทั้งสองช่วงและปรับฐานด้วยตัวสร้างรูปแบบแฟร็กทัลที่สอดคล้องกัน เราจะได้โครงสร้างดังนี้ (ดูรูปที่ 6)

ภาพนี้แสดง “Рис. 6. Внутригодовое движение цены” ซึ่งหมายถึง รูปที่ 6 การเคลื่อนไหวของราคาภายในปี เส้นและเครื่องหมายบนกราฟชี้ให้เห็นแนวโน้มขาขึ้นและขาลงของราคาในช่วงเวลาดังกล่าว

เมื่อเราเจาะลึกลงไปเรื่อยๆ เราจะไปถึงกราฟรายนาที และต่อไปยังกราฟรายติ๊ก (Tick) ซึ่งโครงสร้าง แฟร็กทัลพื้นฐาน จะปรากฏซ้ำอย่างต่อเนื่อง

ที่น่าสังเกตคือ อัตราส่วนระหว่างเส้นของตัวสร้างรูปแบบจะคงที่ไม่เปลี่ยนแปลงไม่ว่าจะอยู่ในกราฟเวลาใดก็ตาม มุมระหว่างเส้นของตัวสร้างรูปแบบบนกราฟรายนาทีและกราฟรายเดือนจะสอดคล้องกัน รวมถึงอัตราส่วนความยาวของเส้นด้วย การค้นพบอันน่าทึ่งนี้มอบมุมมองใหม่ที่น่าตื่นตาต่อการเคลื่อนไหวของราคาที่เราคุ้นเคย

แน่นอนว่าความเข้าใจนี้ยังเป็นแบบอย่างที่เรียบง่าย และตามที่ม็องเดลโบรต์เองระบุไว้ นี่เป็นเพียงภาพจำลองอย่างง่าย ซึ่งใช้เพื่ออธิบายหลักการทั่วไปของโครงสร้างการเคลื่อนไหวของราคาเท่านั้น ส่วนตัวสร้างรูปแบบที่แท้จริงในตลาดอาจซับซ้อนกว่านี้มาก

ในการจำลองพฤติกรรมของตลาด ม็องเดลโบรต์ใช้แบบจำลอง ‘มัลติแฟร็กทัล’ (multifractal) ที่ซับซ้อนกว่า ซึ่งใช้มิติสามมิติและสิ่งที่เรียกว่า ‘คิวบ์แฟร็กทัล’ (fractal cube) เราจะไม่ลงรายละเอียดในประเด็นนี้ แต่จะพิจารณาการสังเกตอีกสองข้อของเรขาคณิตแฟร็กทัล ซึ่งเข้าใจได้ง่ายกว่าและให้แนวคิดเชิงลึกแก่เทรดเดอร์

การสังเกตที่ 2: ตลาดมี ‘ความจำ’

จากการศึกษาตลาดฝ้ายอย่างกว้างขวาง ม็องเดลโบรต์สรุปว่า ช่วงที่มีความผันผวนสูงหรือ ‘ความปั่นป่วน’ มีแนวโน้มที่จะเกิดเป็น ‘คลัสเตอร์ความผันผวน’ อยู่ด้วยกัน

ข้อความนี้อธิบายว่าเหตุการณ์ในตลาดการเงินมักเกิดขึ้นต่อเนื่องกันและมีความสัมพันธ์ซึ่งกันและกัน ซึ่งขัดแย้งกับโมเดล “การเดินสุ่ม” ที่มองว่าเหตุการณ์ต่างๆ เป็นอิสระต่อกัน ผู้เขียนเรียกปรากฏการณ์นี้ว่า “เอฟเฟกต์โยเซฟ” โดยใช้อุปมาจากฝันของฟาโรห์เกี่ยวกับวัวอ้วน 7 ตัวและวัวผอม 7 ตัว เพื่อสื่อถึงความยั่งยืนของแนวโน้มในตลาด

แล้ว ‘คลัสเตอร์ความผันผวน’ คืออะไร? คุณคงเดาออกแล้วว่ามันคือ ‘เทรนด์’ สำหรับเราในฐานะเทรดเดอร์ นี่คือข่าวดีอย่างแน่นอน เพราะตราบใดที่ยังมีเทรนด์อยู่ เทรดเดอร์ก็มีโอกาสทำกำไรได้ดี

การสังเกตที่ 3: ปรากฏการณ์โนอาห์

และสุดท้าย การสังเกตข้อที่สามของม็องเดลโบรต์คือสิ่งที่เรียกว่า ‘ปรากฏการณ์โนอาห์’ (Noah Effect) ตามตำนานน้ำท่วมโลกในพระคัมภีร์ซึ่งเกิดขึ้นอย่างฉับพลัน และมีพลังทำลายล้างสูงมาก ปรากฏการณ์โนอาห์จึงเป็นอุปมาที่ใช้อธิบายการพลิกผันของตลาด — การร่วงลงหรือพุ่งขึ้นอย่างรุนแรงและฉับพลันในตลาดหลักทรัพย์ ซึ่งไม่เคยเกิดขึ้นอย่างค่อยเป็นค่อยไป ตลาดเกือบทุกครั้งจะพุ่งขึ้นหรือร่วงลงอย่างรุนแรงเกินคาดของนักลงทุนทุกคน

เหตุการณ์เช่นนี้มักก่อให้เกิดความตื่นตระหนกในหมู่นักลงทุนทั่วไป ที่ตกใจกับการเคลื่อนไหวของราคาที่รุนแรงเช่นนี้ ตัวอย่างเช่น ในปี 1987 ดัชนีดาวโจนส์ร่วงลง 22.6% ภายในหนึ่งวัน หลังเหตุการณ์นั้น หลายคนโทษโปรแกรมคอมพิวเตอร์ แต่เบอนัวต์ ม็องเดลโบรต์มีมุมมองที่แตกต่าง — ปัญหาไม่ได้อยู่ที่โปรแกรม แต่อยู่ที่ ธรรมชาติของตลาดเอง ลักษณะเฉพาะที่ฝังอยู่ภายในตลาดนั้นเองที่ก่อให้เกิดพลวัตเช่นนี้ สมมติฐานนี้เป็นสิ่งใหม่ และขัดแย้งกับสมมติฐานตลาดประสิทธิภาพ (Efficient Market Hypothesis) ซึ่งระบุว่าตลาดควรเปลี่ยนแปลงอย่างค่อยเป็นค่อยไปและเป็นระบบ

คุณสมบัตินี้ของตลาดเป็นสิ่งที่เทรดเดอร์ที่ไม่ใช้ ‘สต็อปโลส’ และหวังว่าราคาจะกลับมาถึงราคาเปิดสถานะในที่สุด ควรจดจำไว้เสมอ

บทสรุป

บทสรุปของม็องเดลโบรต์มีใจความสำคัญว่า ตลาด เป็นสถานที่ที่มีความเสี่ยงสูงมาก — สูงกว่าที่เราคิดกันทั่วไปเสียอีก สำหรับเทรดเดอร์ ความเสี่ยง ไม่ใช่แหล่งของอันตราย แต่คือแหล่งของผลกำไรที่อาจเกิดขึ้น หากใช้ความรู้เกี่ยวกับการเคลื่อนไหวของราคาอย่างเหมาะสม และเลือกอยู่ใน ‘ฝั่งที่ถูกต้อง’ ของความเสี่ยง ความเสี่ยงนั้นจะกลายเป็นพร ไม่ใช่คำสาป

การวิจัยเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ แบบจำลองแฟร็กทัลกับตลาด เพิ่งเริ่มต้นขึ้นเท่านั้น แต่ตอนนี้ก็ชัดเจนแล้วว่า สาขานี้มีอนาคตอันยิ่งใหญ่รออยู่ เราจึงต้องยอมรับว่าเรากำลังใช้ชีวิตอยู่ในยุคที่น่าตื่นเต้น — ยุคที่ทฤษฎีการเงินใหม่กำลังถือกำเนิดขึ้น บางทีอีก 10 ปีข้างหน้า อินดิเคเตอร์ใน โปรแกรมเทรด ของเราอาจเปลี่ยนไปอย่างสิ้นเชิง

ขอให้โชคดี!